欧拉公式推导 📈🔍
发布时间：2025-03-08 04:07:21来源：
欧拉公式是数学中一个非常重要的公式，它将指数函数和三角函数联系起来，其形式为：𝑒^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中𝑒是自然对数的底，𝑖是虚数单位，而𝑥是任意实数。这个公式的美妙之处在于它简洁地表达了复数领域内的核心关系。
首先，我们从泰勒级数展开开始，这是理解欧拉公式的关键步骤之一。泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，对于𝑒^x，其泰勒级数为：
1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...
当我们将虚数单位𝑖引入到上述公式中，得到𝑒^(ix)的泰勒级数：
1 + ix - (x^2)/2! - i(x^3)/3! + ...
接着，我们可以将上述级数拆分成实部和虚部两部分，分别对应于cos(x)和sin(x)的泰勒级数：
- 实部：1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - ...
- 虚部：x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - ...
这正是cos(x)和sin(x)的定义。因此，我们证明了𝑒^(ix) = cos(x) + isin(x)，这就是著名的欧拉公式。通过这种方式，欧拉公式不仅展示了数学之美，也揭示了不同数学领域间的深刻联系。🌈📚
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