在数学中，根号\( x \) 表示的是 \( x \) 的平方根，通常写作 \( \sqrt{x} \) 或者 \( x^{1/2} \)。当我们需要计算它的导数时，可以使用基本的微积分规则。

首先，我们将其表示为指数形式，即 \( x^{1/2} \)。根据幂函数的求导法则，如果 \( f(x) = x^n \)，那么其导数 \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)。在这里，\( n = 1/2 \)，因此我们可以应用这一公式：

\[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} \]

接下来，我们将结果重新写成更常见的形式。由于 \( x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}} \)，所以最终的结果是：

\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

这就是根号\( x \) 的导数。需要注意的是，在进行求导操作时，变量 \( x \) 必须大于零（即 \( x > 0 \)），因为负数和零没有实数平方根，这会导致定义域上的限制。

通过上述步骤，我们得到了根号\( x \) 的导数表达式，并且清楚地展示了推导过程中的每一步骤。这种类型的题目经常出现在高等数学课程中，理解并掌握这类问题有助于解决更多复杂的微积分问题。