在数论中，一个正整数 \( n \) 被称为卡迈克尔数，如果它满足以下条件：
1. \( n \) 是一个合数。
2. 对于所有与 \( n \) 互质的正整数 \( a \)，都有 \( a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n} \)。
这个定义表明，尽管 \( n \) 不是素数，但它表现得像一个素数一样，在某些情况下能够通过费马小定理的测试。因此，卡迈克尔数常常被用来作为检验素性算法的一个反例。
卡迈克尔数最早由美国数学家罗伯特·丹尼·卡迈克尔（Robert Daniel Carmichael）在1910年发现，并以他的名字命名。第一个卡迈克尔数是561，这是一个由三个不同的素数组成的乘积：\( 561 = 3 \times 11 \times 17 \)。
卡迈克尔数的存在挑战了我们对素数的传统理解，同时也推动了更精确的素性检测方法的发展。例如，后来出现的Miller-Rabin素性测试就是基于改进的算法，可以有效区分真正的素数和伪素数。
总的来说，卡迈克尔数不仅是数论研究中的一个有趣现象，也为现代信息安全技术提供了重要的理论基础。通过对这些特殊数字的研究，科学家们不断深化对数学结构的理解，并探索新的计算可能性。
