【什么是负定矩阵】在数学，特别是线性代数中，矩阵是一个非常重要的工具。矩阵不仅用于解方程组，还广泛应用于优化、统计、物理学和工程等领域。其中，“负定矩阵”是矩阵理论中的一个重要概念，尤其在二次型分析、函数极值判断等方面有广泛应用。
负定矩阵是一种特殊的对称矩阵，它具有某些特定的性质，使得其对应的二次型总是为负值（除了零向量）。理解负定矩阵有助于我们分析系统的稳定性、优化问题的最优解等。
一、负定矩阵的定义
一个 n×n 的实对称矩阵 A 被称为 负定矩阵，如果对于所有非零向量 x ∈ ℝⁿ，都有：
$$
x^T A x < 0
$$
换句话说，该矩阵对应的二次型在任何非零向量上都取负值。
二、负定矩阵的判定条件
以下是判断一个对称矩阵是否为负定矩阵的一些常用方法：
| 判定方法 | 描述 |
| 特征值法 | 所有特征值均为负数 |
| 主子式法 | 所有顺序主子式符号交替变化，且第一个主子式为负 |
| 二次型法 | 对于任意非零向量 x，二次型 x^T A x < 0 |
| 正定矩阵的负数 | 如果 -A 是正定矩阵，则 A 是负定矩阵 |
三、负定矩阵与正定矩阵的关系
负定矩阵与正定矩阵密切相关。如果一个矩阵 A 是负定的，那么它的负矩阵 -A 就是正定的。这种关系常用于将负定问题转化为正定问题进行处理。
四、负定矩阵的应用
1. 优化问题：在凸优化中，目标函数的 Hessian 矩阵如果是负定的，则说明该点是一个局部极大值点。
2. 稳定性分析：在动力系统中，若系统矩阵的特征值全部为负，则系统是稳定的。
3. 经济学与金融学：在投资组合分析中，协方差矩阵的负定性可用于判断资产之间的风险关系。
五、负定矩阵的示例
考虑以下矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
1 & -3
\end{bmatrix}
$$
我们可以验证其是否为负定矩阵：
- 特征值：λ₁ ≈ -0.438, λ₂ ≈ -4.562 → 均为负数
- 顺序主子式：
- 第1个主子式：-2 < 0
- 第2个主子式：(-2)(-3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5 > 0
- 符号交替，满足条件
因此，A 是一个负定矩阵。
六、总结
| 概念 | 定义 | 判定方法 | 应用 |
| 负定矩阵 | 对称矩阵，其二次型对所有非零向量取负值 | 特征值全负、主子式符号交替、二次型小于0 | 优化、稳定性分析、经济模型 |
通过以上内容可以看出，负定矩阵是线性代数中一个重要的概念，掌握其性质和应用有助于深入理解相关领域的数学模型和实际问题。
