在几何学中，垂径定理是一个非常重要的基础性结论，它描述了圆中一条直径与弦之间的特殊关系。基于这一基本原理，可以衍生出一系列有趣的推论和扩展性质。以下是垂径定理的十个重要推论及其详细证明过程。

推论 1：等分弦的直径垂直于弦

定理如果一条直径平分圆的一条弦，则该直径必垂直于这条弦。

证明：设 $ O $ 为圆心，$ AB $ 是圆的一条弦，$ CD $ 是经过圆心且平分弦 $ AB $ 的直径。连接 $ OA, OB, OC, OD $。因为 $ CD $ 平分 $ AB $，所以点 $ M $（弦 $ AB $ 的中点）位于直径 $ CD $ 上。根据对称性，$ \triangle OAM \cong \triangle OBM $（边角边），因此 $ \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ $。由此可得，直径 $ CD $ 垂直于弦 $ AB $。

推论 2：垂直于弦的直径平分弦

定理如果一条直径垂直于圆的一条弦，则该直径必平分这条弦。

证明：设 $ O $ 为圆心，$ AB $ 是圆的一条弦，$ CD $ 是经过圆心且垂直于弦 $ AB $ 的直径。由于 $ CD \perp AB $，点 $ M $（弦 $ AB $ 的中点）位于直径 $ CD $ 上。利用对称性可知，$ \triangle OAM \cong \triangle OBM $，从而 $ AM = BM $。因此，直径 $ CD $ 平分弦 $ AB $。

推论 3：弦的中点到圆心的距离相等

定理对于同一圆内任意两条弦，若它们的中点重合，则这两条弦的长度相等。

证明：设两弦分别为 $ AB $ 和 $ A'B' $，其共同中点为 $ M $。由推论 1 和推论 2 可知，过点 $ M $ 的直径同时垂直和平分 $ AB $ 和 $ A'B' $。因此，$ \triangle OAM \cong \triangle OB'M $，进而得出 $ AB = A'B' $。

推论 4：同弧所对的圆周角相等

定理在同一圆中，同一条弧所对的所有圆周角均相等。

证明：设 $ AB $ 为圆上的弧，$ C, D $ 是弧 $ AB $ 上的不同点。连接 $ AC, AD, BC, BD $。由垂径定理可知，直径将弧分为两部分，而圆周角的大小仅依赖于弧的大小，因此 $ \angle ACB = \angle ADB $。

推论 5：直径所对的圆周角为直角

定理直径所对的圆周角恒等于 $ 90^\circ $。

证明：设 $ AB $ 为直径，点 $ C $ 为圆周上任意一点。连接 $ AC, BC $。根据推论 4，$ \angle ACB $ 所对的弧为半圆，因此 $ \angle ACB = 90^\circ $。

推论 6：平行弦间的距离等于圆心到弦的距离差

定理在同一圆中，若两条弦互相平行，则这两条弦之间的距离等于圆心到这两条弦的距离之差。

证明：设两弦分别为 $ AB $ 和 $ CD $，其距离为 $ d $。令 $ OM $ 和 $ ON $ 分别表示圆心 $ O $ 到两弦的距离。由垂径定理可知，$ OM \perp AB $，$ ON \perp CD $。因此，$ d = |OM - ON| $。

推论 7：等弧对应的弦长相等

定理在同一圆中，若两条弧相等，则这两条弧所对应的弦长也相等。

证明：设两弧分别为 $ AB $ 和 $ A'B' $，且 $ AB = A'B' $。由垂径定理可知，弧的长度唯一决定弦的长度，因此 $ AB = A'B' $。

推论 8：等弦对应的弧长相等

定理在同一圆中，若两条弦相等，则这两条弦所对应的弧长相等。

证明：设两弦分别为 $ AB $ 和 $ A'B' $，且 $ AB = A'B' $。由垂径定理可知，弦的长度唯一决定弧的长度，因此 $ AB = A'B' $。

推论 9：同心圆的公共弦垂直于连心线

定理若两个圆同心，则它们的公共弦垂直于连心线。

证明：设两个同心圆的圆心为 $ O $，公共弦为 $ AB $。连接 $ OA, OB $。由于 $ O $ 为圆心，$ AB $ 必定被 $ O $ 垂直平分，因此 $ AB \perp OO' $。

推论 10：切线与半径垂直

定理从圆外一点引出的切线与圆的半径垂直。

证明：设 $ P $ 为圆外一点，切线 $ PT $ 与圆相切于点 $ T $。连接 $ OT $。由于 $ OT $ 为半径，且 $ PT $ 为切线，根据几何性质，$ OT \perp PT $。

以上便是垂径定理的十个推论及其证明。这些推论不仅丰富了我们对圆的几何特性的理解，也为解决实际问题提供了强大的工具。希望读者能通过这些内容进一步掌握圆的相关知识，并灵活运用到解题过程中！