【如何求直线与平面所成的角】在立体几何中，求直线与平面所成的角是一个常见的问题。这个角度反映了直线与平面之间的倾斜程度，是解决空间几何问题的重要工具。本文将总结直线与平面所成角的基本概念、计算方法及常见题型，并通过表格形式清晰展示关键步骤和公式。

一、基本概念

- 直线与平面所成的角：是指该直线与其在平面上的投影之间的夹角。这个角的范围在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间。

- 关键点：若直线在平面内或与平面平行，则所成角为 $0^\circ$；若直线垂直于平面，则所成角为 $90^\circ$。

二、求解方法总结

三、典型例题解析

例题：已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v} = (1, 2, 3)$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n} = (2, -1, 1)$，求直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角。

解法：

1. 计算点积：

$\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3$

2. 计算模长：

$\vec{v} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$

$\vec{n} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$

3. 计算夹角余弦值：

$\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{14} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}}$

4. 求直线与平面的夹角：

$\phi = \arcsin\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right)$

四、注意事项

- 若题目中给出的是参数方程或点向式方程，需先提取方向向量；

- 平面方程一般为 $Ax + By + Cz + D = 0$，其法向量为 $(A, B, C)$；

- 当直线与平面垂直时，所成角为 $90^\circ$，此时方向向量与法向量共线；

- 当直线与平面平行时，所成角为 $0^\circ$，此时方向向量与法向量垂直。

五、总结

通过以上内容的整理，可以系统掌握直线与平面所成角的求法，适用于考试复习、作业解答以及实际应用中的几何分析。