【数列an的前n项和为sn】在数列的学习中，我们常常需要计算一个数列的前 n 项和 $ S_n $。$ S_n $ 是指从数列的第一项到第 n 项的所有项的总和，即：
$$
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n
$$
不同的数列类型（如等差数列、等比数列）有不同的求和公式。下面我们将对常见数列的前 n 项和进行总结，并列出其对应的公式与示例。
一、等差数列的前 n 项和
对于等差数列 $ a_n $，首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，其通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
前 n 项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
或等价形式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
| 项目 | 内容 |
| 数列类型 | 等差数列 |
| 首项 | $ a_1 $ |
| 公差 | $ d $ |
| 第 n 项 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 前 n 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ 或 $ \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
示例：
若等差数列为 2, 5, 8, 11, 14，则 $ a_1 = 2 $，$ d = 3 $，求前 5 项和：
$$
S_5 = \frac{5}{2}[2 \times 2 + (5 - 1) \times 3] = \frac{5}{2}[4 + 12] = \frac{5}{2} \times 16 = 40
$$
二、等比数列的前 n 项和
对于等比数列 $ a_n $，首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，其通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
前 n 项和公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)
$$
当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
| 项目 | 内容 |
| 数列类型 | 等比数列 |
| 首项 | $ a_1 $ |
| 公比 | $ r $ |
| 第 n 项 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前 n 项和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） $ S_n = n \cdot a_1 $（$ r = 1 $） |
示例：
若等比数列为 3, 6, 12, 24, 48，则 $ a_1 = 3 $，$ r = 2 $，求前 5 项和：
$$
S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \cdot 31 = 93
$$
三、其他数列的前 n 项和
除了等差和等比数列外，还有一些特殊的数列，例如：
- 自然数列：1, 2, 3, ..., n
前 n 项和：$ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $
- 平方数列：1², 2², 3², ..., n²
前 n 项和：$ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $
- 立方数列：1³, 2³, 3³, ..., n³
前 n 项和：$ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $
| 项目 | 内容 |
| 自然数列 | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ |
| 平方数列 | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ |
| 立方数列 | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ |
四、总结
| 数列类型 | 前 n 项和公式 | 备注 |
| 等差数列 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 适用于任意等差数列 |
| 等比数列 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） | 当 $ r = 1 $ 时需特殊处理 |
| 自然数列 | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ | 最常用数列之一 |
| 平方数列 | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ | 用于数学分析 |
| 立方数列 | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ | 与自然数列有密切关系 |
通过掌握这些基本数列的前 n 项和公式，可以更高效地解决数列相关的数学问题，也为后续学习级数、极限等内容打下基础。
